Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

1

bn

=-

1

an2

-n+1，对于任意n≥2，n∈N^*都有λb_n+

1

bn+1

≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上，f（x）=-

4+ 1 x2

，代入可得-

1

an+1

=-

4+ 1 a 2 n

，且a_n＞0．整理为

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由于

1

bn

=

1

an2

-n+1=4n-3-n+1=3n-2，可得b_n，代入λb_n+

1

bn+1

≥λ并整理得λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．
设C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，证明{c_n}是单调递增数列即可．

解答： 解：（1）∵点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上，f（x）=-

4+ 1 x2

，
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 a 2 n

，且a_n＞0．
∴

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4．
∴数列{

1

a 2 n

}是等差数列，首项

1

a12

=1，公差d=4．
∴

1

a 2 n

=1+4（n-1），
∴

a

2 n

=

1

4n-3

．
∵a_n＞0，
∴a_n=

1

4n-3

 (n∈N*)．
（2）

1

bn

=

1

an2

-n+1=4n-3-n+1=3n-2，
∴b_n=

1

3n-2

，
代入λb_n+

1

bn+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．
设C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，故C_n+1＞C_n，
∴{c_n}单调递增，C_n的最小值为C₂=

28

3

，
∴λ的取值范围是(-∞，

28

3

]．

点评：本题考查了函数的性质、等差数列的定义及其通项公式、恒成立问题的等价转化、数列的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．