Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（1）求证：数列数列{S_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）另b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，记数列的前n项的和为Tn，试证明：T_n＜

7

8

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1，得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，从而得到Sn2=Sn-1Sn=1，n≥2，由此能证明数列数列{S_n}是首项为1，公比为4的等比数列．进而得到Sn=4n-1，由此能求出an=

1，n=1 3•4n-2，n≥2

．
（2）由b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，知当n=1时，T_n=

1

( 1 3 +1)( 3 3 +1)

=

3

8

＜

7

8

．当n≥2时，b_n=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

7

8

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，
且当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

，
∴由a_n=S_n-S_n-1，得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
化简，得Sn2=Sn-1Sn=1，n≥2，
又a₁=1，a₂=3，∴S₁=1，S₂=4，
∴数列数列{S_n}是首项为1，公比为4的等比数列．
∴Sn=4n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=4^n-1-4^n-2=3•4^n-2，n≥2．
n=1时，3•4^n-2=

3

4

≠a1，
∴an=

1，n=1 3•4n-2，n≥2

．
（2）b_n=

an

( an 3 +1)( an+1 3 +1)

，
当n=1时，T_n=

1

( 1 3 +1)( 3 3 +1)

=

3

8

＜

7

8

．
当n≥2时，b_n=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，
∴T_n=

3

8

+

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

=

3

8

+

1

2

-

1

4n-1+1

=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．
∴T_n＜

7

8

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．