Question

12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，c=4且$\sqrt{3}a=2csinA$，则△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可知：a=2RsinA，c=2RsinC，代入$\sqrt{3}a=2csinA$，求得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可知：16=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，求得ab≤16，根据三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，即可求得△ABC面积的最大值．

解答 解：由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，c=2RsinC，
由$\sqrt{3}a=2csinA$，则$\sqrt{3}$RsinA=4RsinCsinA，
由sinA≠0，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC得，16=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴ab≤16，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
△ABC面积的最大值4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查基本不等式与三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．