Question

4．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，\;x≤1\\ mlnx，\;x＞1\end{array}\right.$，若函数y=f（x）-x恰有三个零点，则f（m）=e．

Answer 1

分析 判断函数函数y=f（x）-x，x≤1时，零点个数，然后判断x＞1时零点个数，转化求解即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}，\;x≤1\\ mlnx，\;x＞1\end{array}\right.$，
若函数y=f（x）-x恰有三个零点，
在平面直角坐标系画出y=f（x）与y=x的图象，
如图：
当x≤1时，零点有2个数，当x＞1时零点个数为1个，
y=mlnx与y=x只有一个交点，可得y′=$\frac{m}{x}$，切点坐标想，（x，x），
可得m=x，可得x=xlnx，解得x=m=e．
f（m）=elne=e．
故答案为：e．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的零点的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．