Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₁和C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），将l₁逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l₁与C₁交于O，P两点，l₂与C₂交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得：曲线C₁的直角坐标方程为：（x-1）²+y²=1，展开利用互化公式即可得出C₁极坐标方程．曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，展开为x²+y²-2y=0．利用互化公式可得C₂极坐标方程．
（Ⅱ）设点P极点坐标（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα．点Q极坐标为$（{ρ}_{2}，α+\frac{π}{6}）$，即ρ₂=2sin$（α+\frac{π}{6}）$．则|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂=4cosαsin$（α+\frac{π}{6}）$，化简利用三角函数的和差公式与单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系可得：曲线C₁的直角坐标方程为：（x-1）²+y²=1，展开为：x²+y²-2x=0．
∴C₁极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，展开为x²+y²-2y=0．
∴C₂极坐标方程为ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（Ⅱ）设点P极点坐标（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα．
点Q极坐标为$（{ρ}_{2}，α+\frac{π}{6}）$，即ρ₂=2sin$（α+\frac{π}{6}）$．
则|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂=4cosαsin$（α+\frac{π}{6}）$=4cosα$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$=2sin$（2α+\frac{π}{6}）$+1．
∵α∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$（2α+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
当2$α+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$时，|OP|•|OQ|取最大值，
此时P极点坐标$（\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．