Question

19．已知f（x）为二次函数，其导函数f′（x）满足f′（x）lnx＜$\frac{f（x）}{x}$，则有（　　）

• A． f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）
• B． f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• C． f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• D． f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，x∈（0，+∞），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，x∈（0，+∞），
故g′（x）=$\frac{f′（x）lnx-f（x）•\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
∵f′（x）lnx＜$\frac{f（x）}{x}$，∴f′（x）lnx-f（x）$\frac{1}{x}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∴g（2）＞g（e），即$\frac{f（2）}{ln2}$＞$\frac{f（e）}{lne}$，f（2）＞f（e）ln2，
g（e）＞g（e²），即$\frac{f（e）}{lne}$＞$\frac{f{（e}^{2}）}{l{ne}^{2}}$，2f（e）＞f（e²），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道中档题．