Question

14．已知函数f（x）=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）若存在x₀∈[0，$\frac{5π}{12}$]使mf（x₀）-2=0成立，求实数m的取值范围．
（3）△ABC为锐角三角形，且∠B=2∠A，求$\frac{f（\frac{C}{2}-\frac{π}{6}）}{f（\frac{B}{2}-\frac{π}{6}）}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）展开两角和的正弦，再由倍角公式降幂，利用辅助角公式化积，则周期可求；
（2）分离参数m，由x₀的范围求出相位的范围，得到三角函数值的范围得答案；
（3）由已知求出A的范围，把$\frac{f（\frac{C}{2}-\frac{π}{6}）}{f（\frac{B}{2}-\frac{π}{6}）}$转化为关于cosA的函数得答案．

解答 解：（1）f（x）=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$2sinxcos\frac{π}{3}cosx+2cosxsin\frac{π}{3}cosx+sinxcosx-\sqrt{3}si{n}^{2}x$
=$2sinxcosx+\sqrt{3}co{s}^{2}x-\sqrt{3}si{n}^{2}x$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，∴最小正周期为π；
（2）由mf（x₀）-2=0，得$m=\frac{2}{f（{x}_{0}）}=\frac{1}{sin（2{x}_{0}+\frac{π}{3}）}$，
∵x₀∈[0，$\frac{5π}{12}$]，∴$\frac{π}{3}≤2{x}_{0}+\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2{x}_{0}+\frac{π}{3}）≤1$，
故m∈（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（3）∵f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
∴$\frac{f（\frac{C}{2}-\frac{π}{6}）}{f（\frac{B}{2}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{2sinC}{2sinB}=\frac{sin3A}{sin2A}=\frac{sinAcos2A+cosA•2sinAcosA}{2sinAcosA}$
=$cosA+\frac{cos2A}{2cosA}=cosA+\frac{2co{s}^{2}A-1}{2cosA}$=$2cosA-\frac{1}{2cosA}$．
∵0°＜A＜90°，0°＜B=2A＜90°，0°＜180°-3A＜90°，
∴30°＜A＜45°，
由2cosA-$\frac{1}{2cosA}$为（30°，45°）上的减函数，
∴最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{f（\frac{C}{2}-\frac{π}{6}）}{f（\frac{B}{2}-\frac{π}{6}）}$的取值范围（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查二倍角公式的应用，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．