Question

4．若点P是曲线y=2x-e^x上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 对函数y=f（x）=2x-e^x求导，直线y=x的斜率k=1，当斜率为1且与曲线相切的直线L与直线y=x的距离最小．

解答 解：对函数y=f（x）=2x-e^x求导：f'（x）=2-e^x；
直线y=x的斜率k=1，当斜率为1且与曲线相切的直线L与直线y=x的距离最小．
当f'（x）=1时，解得x=0；所以知f（0）=-1；
故直线L方程为：y+1=x；
利用两平行之间的距离公式d=$\frac{|{C}_{1}-{C}_{2}|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选：C．

点评 本题主要考查了利用导数求曲线切点直线方程，以及两平行线之间的距离公式，属基础题．