Question

14．已知函数f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）用单调性的定义证明f（x）是减函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式1-x＞0，1+x＞0求解即可；
（2）利用f（-x）=-f（x）验证f（x）为奇函数；
（3）利用函数单调性定义直接证明f（x）的单调性；

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$得：-1＜x＜1．
所以，函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）∵f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）任取x₁，x₂∈（-1，1），
当x₁＜x₂时，1-x₁＞1-x₂，1+x₁＜1+x₂；
∴lg（1-x₁）＞lg（1-x₂），-lg（1+x₁）＞-lg（1+x₂）；
∴lg（1-x₁）-lg（1+x₁）＞lg（1-x₂）-lg（1+x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂）．
故函数f（x）是减函数．

点评 本题主要考查了函数的定义域，函数奇偶性以及函数单调性定义证明，属基础题．