Question

1．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且$f（{e^x}）=3x+\frac{1}{2}{e^x}+1$，且f′（1）=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 运用换元法，求得f（t）=3lnt+$\frac{1}{2}$t+1，求出导数，代入t=1计算即可得到所求值．

解答 解：$f（{e^x}）=3x+\frac{1}{2}{e^x}+1$，
可令t=e^x，则x=lnt，
f（t）=3lnt+$\frac{1}{2}$t+1，
导数f′（t）=$\frac{3}{t}$+$\frac{1}{2}$，
则f′（1）=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查导数的概念和运用，考查运算能力，正确求得导数是解题的关键，属于基础题．