Question

16．已知x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y≤0}\\{2y-3x-6≤0}\\ \begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\end{array}\end{array}}\right.$，则$z=\frac{2^x}{{\sqrt{2^y}}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 1
• D． ${2^{-\frac{3}{2}}}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域．化简目标函数，利用函数的几何意义，求解即可．

解答 解：$z={2^{x-\frac{y}{2}}}$，设$m=x-\frac{y}{2}$，要使z最小，则只需求m的最小值即可．
作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y≤0}\\{2y-3x-6≤0}\\ \begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\end{array}\end{array}}\right.$对应的平面区域．由$m=x-\frac{y}{2}$得y=2x-2m，
平移直线，由平移可知当直线y=2x-2m经过点（0，3）时，
直线y=2x-2m的截距最大，此时m最小，
∴$z={2^{x-\frac{y}{2}}}$的最小值为${2^{-\frac{3}{2}}}$，
故选：D．

点评 本题考查线性规划的应用，转化目标函数为线性关系是解题的关键之一，考查数形结合思想的应用．