Question

8．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据图形，直接代入点（0，$\sqrt{3}$），（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$）列出方程即可；
（2）求出函数解析式后，直接代入y=sinx的单调增或减区间，解出x的取值范围即可．

解答 解：（1）由图形易知A=2，
将点（0，$\sqrt{3}$），（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$）代入，有$\left\{\begin{array}{l}{sinφ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sin（\frac{π}{2}ω+φ）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$
∵0＜|φ|＜π，∴$\left\{\begin{array}{l}{φ=\frac{π}{3}}\\{ω=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，故f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）知f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{3}$），
要使f（x）单调递增，则2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
即$3kπ-\frac{5π}{4}$≤x≤3kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，f（x）的单调递增区间为[$3kπ-\frac{5π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
k=0，得[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间[0，$\frac{π}{4}$]．
要f（x）单调递减，则$2kπ+\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，
即$3kπ+\frac{π}{4}≤$ x $≤\$ 3k$π+\frac{7π}{4}$，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[3kπ+$\frac{π}{4}$，3k$π+\frac{7π}{4}$]，k∈Z．
取k=0，得[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间[$\frac{π}{4}$，π]．
故f（x）在[0，π]上的单调递增区间[0，$\frac{π}{4}$]，单调递减区间为[$\frac{π}{4}$，π]．

点评 本题主要考查了三角函数图形求解析式，以及三角函数的单调增减区间，属中等题．