Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体；存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函数f(x)＝x是否属于集合M？说明理由；

(2)设函数f(x)＝a^x(a＞0，且a≠1)的图象与y＝x的图象有公共点，证有：f(x)＝a^x∈M；

(3)若函数f(x)＝sinkx，x∈M，求实数k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)对于非零常数T，f(x＋T)＝x＋T，Tf(x)＝Tx． 　　因为对任意x∈R，x＋T＝Tx不能恒成立， 　　所以f(x)＝xM． 　　(2)因为函数f(x)＝ax(a＞0且a≠0)的图象与函数y＝x的图象有公共点， 　　所以方程组有解，消去y得ax＝x， 　　显然x＝0不是方程ax＝x的解，所以存在非零常数T，使aT＝T．于是对于f(x)＝ax，有 　　f(x＋T)＝ax+T＝aT·ax＝T·ax＝Tf(x)， 　　故f(x)＝ax∈M． 　　(3)当k＝0时，f(x)＝0，显然f(x)＝0∈M． 　　当k≠0时，因为f(x)＝sinkx∈M， 　　所以存在非零常数T， 　　对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立， 　　即sin(kx＋kT)＝Tsinkx． 　　因为k≠0时，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R， 　　于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx＋kT)∈[－1，1]， 　　故要使sin(kx＋kT)＝Tsinkx成立，只有T＝±1． 　　当T＝1时，sin(kx＋k)＝sinkx成立， 　　则k＝2mπ，m∈Z 　　当T＝－1时，sin(kx－k)＝－sinkx成立． 　　即sin(kx－k＋π)＝sinkx成立， 　　则－k＋π＝2mπ，m∈Z，即K＝－(2m－1)π，m∈Z． 　　综合得，实数k的取值范围是{k|k＝mπ，m∈Z}．