Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的正整数n，满足2

Sn

=a_n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），从而得到a_n-a_n-1=2，由此能求出a_n=2n-1．

解答： 解：∵2

Sn

=a_n+1，∴a_n=2

Sn

-1，
∵2

Sn

=a_n+1，∴4S_n=（a_n+1）²
那么4S_n-1=（a_n-1+1）²
两式相减得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1
即2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵正项数列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2
a_n=2

S1

-1=2

a1

-1，解得a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列
a_n=1+2（n-1）=2n-1
故答案为：2n-1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．