Question

18．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx}{{e}^{x}}$，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x-ey=0是曲线y=f（x）的切线．
（1）求a，b的值；
（2）若?x₀∈[1，e]使得不等式f（x₀）-k＜0能成立，求实数k的取值范围；
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），若函数h（x）=g（x）-cx²为增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=0处取得极值，且x-ey=0是曲线y=f（x）的切线，可得b=1，由关于a的方程组，由此可得a值；
（2）问题转化为k＞f（x）_min在[1，e]成立即可，更换函数的单调性求出f（x）在[1，2]的最小值，求出k的范围即可；
（3）记函数F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0，求其导函数，可得当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x₀∈（1，2），使F（x₀）=0，有g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}，得到h（x）的分段函数的形式，分离参数c后利用导数求得答案．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（2a-b）x+b}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，即b=0，
此时f（x）=$\frac{{ax}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+2ax}{{e}^{x}}$，
设直线x-ey=0与曲线y=f（x）切于点P（x₀，y₀），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{e}x}_{0}=\frac{{{ax}_{0}}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}}\\{\frac{1}{e}=\frac{-{{ax}_{0}}^{2}+2{ax}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}}\end{array}\right.$，解之得a=1；
（2）由（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
若?x₀∈[1，e]使得不等式f（x₀）-k＜0能成立，
即k＞f（x）_min在[1，e]成立即可，
而f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
∵x∈[1，2]，则f′（x）≤0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]递减，f（x）_min=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故k＞$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（3）函数g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），
由f（x）的导数为f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．
对x-$\frac{1}{x}$在x＞0递增，设y=f（x）和y=x-$\frac{1}{x}$的交点为（x₀，y₀），
由f（1）-（1-1）=$\frac{1}{e}$＞0，f（2）-（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{2}$＜0，即有1＜x₀＜2，
当0＜x＜x₀时，g（x）=x-$\frac{1}{x}$，
h（x）=g（x）-cx²=x-$\frac{1}{x}$-cx²，h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x₀时恒成立，
即有2c≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，由y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$在（0，x₀）递减，
可得2c≤$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{3}}$①
当x≥x₀时，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
h（x）=g（x）-cx²=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-cx²，h′（x）=$\frac{2x{-x}^{2}}{{e}^{x}}$-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在x≥x₀时恒成立，
即有2c≤$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，由y=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，可得y′=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
可得函数y在（3，+∞）递增；在（x₀，3）递减，
即有x=3处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$②，
由①②可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$，解得c≤-$\frac{1}{{2e}^{3}}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，是压轴题．