Question

3．已知函数f（x）=$\frac{x}{1+x}$-aln（1+x）（a∈R），g（x）=x²e^mx（m∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若a＜0，且对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）+1＞g（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可；
（2）令ϕ（x）=f（x）+1，根据函数的单调性分别求出φ（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
a=1时，f′（x）=$\frac{-x}{{（1+x）}^{2}}$，
f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；
故f（x）_max=f（0）=0；
（2）令ϕ（x）=f（x）+1，
因为“对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）+1≥g（x₂）恒成立”，
对任意的x₁，x₂∈[0，2]，ϕ（x）_min≥g（x）_max成立，
由于$ϕ'（x）=\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}-\frac{a}{1+x}=\frac{-ax-a+1}{{{{（1+x）}^2}}}$，
当a＜0时，?x∈[0，2]有ϕ'（x）＞0，
从而函数ϕ（x）在[0，2]上单调递增，
所以ϕ（x）_min=ϕ（0）=1，（6分）
g'（x）=2xe^mx+x²e^mx•m=（mx²+2x）e^mx，
当m=0时，g（x）=x²，x∈[0，2]时，g（x）_max=g（2）=4，
显然不满足g（x）_max≤1，
当m≠0时，令g'（x）=0得${x_1}=0，{x_2}=-\frac{2}{m}$，
①-$\frac{2}{m}$≥2即-1≤m≤0时，函数在[0，2]递增，
故g（x）_max=g（2）=4e^2m，
只需4e^2m≤1，解得：m≤-ln2，
故-1≤m≤-ln2；
②0＜-$\frac{2}{m}$＜2，即m＜-1时，
函数在[0，-$\frac{2}{m}$]递增，在[-$\frac{2}{m}$，2]递减，
故g（x）_max=g（-$\frac{2}{m}$）=$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$，
只需$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$≤1，解得：m≤-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．