Question

定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中. 已知其中e为自然对数的底数.
（1）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）求证：.

Answer 1

(1) ;(2)详见解析；(3)详见解析.3.详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函数”，得到在上为增函数，求导后，导数大于等于0，分离参数，转化为恒成立，求最值的问题，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）当时，得到函数,，利用导数即可得到的单调区间，分成,三种情况进行分类讨论即可函数在上单调性，进而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）当时， ,即，则，即可证明：.，
试题解析：（1）由题意知上为增函数，因为在上
恒成立.又，则在上恒成立，
即在上恒成立. 而当时，，所以，
于是实数a的取值范围是.            4分
（2）当时，，则.
当，即时，；
当，即时，.
则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.  6分
因为，所以，
①当，即时，在[]上单调递减，
所以.
②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以.
③当时，在[]上单调递增，所以.
综上，当时，；
当时，；
当时，.          9分
（3）由（2）可知，当时，，所以，
可得