Question

【题目】已知函数f（x）=loga （a＞0，a≠1）．
（1）当a＞1时，讨论f（x）的奇偶性，并证明函数f（x）在（1，+∞）上为单调递减；
（2）当x∈（n，a﹣2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a与n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}，关于原点对称，

又f（﹣x）= ，∴f（x）为奇函数，

证明：当a＞1时，设1＜x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵ = ，

∴ ＞1，又a＞1，∴loga ＞0，则f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在（1，+∞）上为减函数

（2）解：令 = ，x∈（n，a﹣2），

①当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），

令 ，解得 ．∴x∈（1， ）．

故有 ，解得 ；

②当0＜a＜1时，t∈（0，a），则x∈（ ），∴ ，（不合题意）．

综上所述，存在实数n=1，a= ，当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）

【解析】（1）直接利用函数单调性与奇偶性的定义判断；（2）令 = ，x∈（n，a﹣2），当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），令 ，解得 ．可得x∈（1， ）．则 ，解得 ；当0＜a＜1时，t∈（0，a），则x∈（ ），得 ，（不合题意）．由此可得存在实数n=1，a= ，当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）．
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．