Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，
（1）设集合{x|f（x）=x-1}={1，2}，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）设集合{x|f（x）≤x}={1}，且a＞0，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）由条件便得到方程ax²+（b-1）x+c+1=0有两个实根1，2，根据韦达定理便可得出b=1-3a，c=2a-1，从而由f（x）＞0可得到$a（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$，为解该不等式，从而需讨论a＞0和a＜0，以及$\frac{2a-1}{a}$和1的关系，从而解出该不等式，即得出f（x）＞0的解集；
（2）根据条件便得到一元二次方程ax²+（b-1）x+c=0有二重根1，由韦达定理便可得到b=1-2a，c=a，从而得出f（x）=ax²+（1-2a）x+a，可求出f（x）的对称轴$x=1-\frac{1}{2a}＜1$，从而可讨论$1-\frac{1}{2a}＜0$和$1-\frac{1}{2a}≥0$两种情况，可以求出每种情况下f（x）在[-2，2]上的最大值，这样便可得出f（x）在[-2，2]上的最大值M（a）．

解答 解：（1）根据题意知方程ax²+bx+c=x-1有两个实根1，2；
即方程ax²+（b-1）x+c+1=0有两个实根1，2；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{b-1}{a}}\\{1•2=\frac{c+1}{a}}\end{array}\right.$；
∴b=1-3a，c=2a-1；
∴f（x）=ax²+（1-3a）x+2a-1=[ax-（2a-1）]•（x-1）；
∴由f（x）＞0得[ax-（2a-1）]（x-1）＞0；
即$a（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$（Ⅰ）；
①若a＞0，上面不等式变成$（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＞0$；
1）当$\frac{2a-1}{a}＞1$，即a＞1时，上面不等式即不等式f（x）＞0的解集为（-∞，1）∪（$\frac{2a-1}{a}$，+∞）；
2）当$\frac{2a-1}{a}=1$，即a=1时，f（x）＞0的解集为{x|x≠1}；
3）当$\frac{2a-1}{a}＜1$，即0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为$（-∞，\frac{2a-1}{a}）∪（1，+∞）$；
②若a＜0，不等式（Ⅰ）变成$（x-\frac{2a-1}{a}）（x-1）＜0$；
a＜0；
∴$\frac{2a-1}{a}=2-\frac{1}{a}＞1$；
∴f（x）＞0的解集为$（1，\frac{2a-1}{a}）$；
（2）由条件知方程ax²+bx+c=x有二重根1；
即方程ax²+（b-1）x+c=0有二重根1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+1=-\frac{b-1}{a}}\\{1•1=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；
∴b=1-2a，c=a；
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a；
a＞0，f（x）的对称轴为x=$\frac{2a-1}{2a}$=$1-\frac{1}{2a}＜1$；
∴①$1-\frac{1}{2a}＜0$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，x=2时，f（x）在[-2，2]上取到最大值a+2；
②$1-\frac{1}{2a}≥0$，即$a≥\frac{1}{2}$时，x=-2时，f（x）在[-2，2]上取到最大值9a-2；
∴$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{a+2}&{0＜a＜\frac{1}{2}}\\{9a-2}&{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 考查描述法表示集合，韦达定理，以及一元二次不等式的解法，二次函数的对称轴，二次函数的最大值，要熟悉二次函数的图象．