Question

8．已知函数f（x）=sin$\frac{πx}{2}$（x∈R），任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当t∈[-2，0]时，求函数g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性和对称性的性质即可可先求出函数f（x）的最小正周期为4，
（2）由周期性得到g（t+4）=M_t-m_t=g（t），然后探索-2≤t≤0的函数f（x）的最值，以及g（t）的解析式，即可得到结论．

解答 解：（1）函数的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，由$\frac{πx}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=2k+1，k∈Z，即对称轴方程为x=2k+1，k∈Z．
（2）画出函数f（x）的部分图象，如右图，
当-2≤t＜-$\frac{3}{2}$，时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为-1，最大值为f（t）=sin$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=1+sin$\frac{πt}{2}$；
当-$\frac{3}{2}$≤t＜-1时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为-1，最大值为f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=1+cos$\frac{πt}{2}$，
当-1≤t≤0时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t）=sin$\frac{πt}{2}$，最大值为f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$，
∴g（t）=cos$\frac{πt}{2}$-sin$\frac{πt}{2}$．
即g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sin\frac{πt}{2}，}&{-2≤t＜-\frac{3}{2}}\\{1+cos\frac{πt}{2}，}&{-\frac{3}{2}≤t＜-1}\\{cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，}&{-1≤t≤0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数的周期性以及应用，根据三角函数的图象和性质写出函数式，综合性较强，难度较大．