Question

设向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），定义一种向量积：

a

?

b

=（a₁，a₂）?（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知向量

m

=（

1

2

，4），

n

=（

π

6

，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[

π

6

，

π

3

]上的最大值是（　　）

• A、4
• B、2
• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

OP

=（x₀，y₀），

OQ

=（x，y），由题意可得y₀=cosx₀，再把

OQ

=（x，y）=

m

?

OP

+

n

，化简为（

1

2

x0+

π

6

，4y₀），可得x₀=2x-

π

3

，y₀=

1

4

y．故有y=4cos（2x-

π

3

），再根据余弦函数的定i义域和值域求得y=f（x）在区间[

π

6

，

π

3

]上的最大值．

解答：解：设

OP

=（x₀，y₀），

OQ

=（x，y），由题意可得y₀=cosx₀，

OQ

=（x，y）=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

 ，4)?(x0 ，y0)+（

π

6

，0）
=（

1

2

x0，4y₀）+（

π

6

，0）=（

1

2

x0+

π

6

，4y₀），
即 x=

1

2

x0+

π

6

，y=4y₀； 即x₀=2x-

π

3

，y₀=

1

4

y．
∴

1

4

y=cos（2x-

π

3

），y=4cos（2x-

π

3

）．
∵点Q在y=f（x）的图象上运动，∴f（x）=4cos（2x-

π

3

）．
当

π

6

≤x≤

π

3

时，0≤2x-

π

3

≤

π

3

，∴当2x-

π

3

=0时，f（x）取得最大值为4，
故选：A．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．