Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，由此能求出椭圆Γ的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²+2y²=a²．，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），则C、D坐标满足

x2+2y2=a2 y=kx

，由此得x₁=-

a

1+2k2

，x₂=

a

1+2k2

．由此能求出求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

解答：解：（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=

4

3

a，|BF₂|=

5

3

a，
所以点A为短轴端点，b=c=

2

2

a，
Γ的离心率e=

c

a

=

2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²+2y²=a²．
不妨设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
则C、D坐标满足

x2+2y2=a2 y=kx

，
由此得x₁=-

a

1+2k2

，x₂=

a

1+2k2

．
设C、D两点到直线AB：x-y+

2

2

a=0的距离分别为d₁、d₂，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d₁+d₂=

(x2-x1)-(y2-y1)

2

=

(1-k)(x2-x1)

2

=

2 (1-k)a

1+2 k2

．…（8分）
∴S=

1

2

|AB|（ d₁+d₂）
=

1

2

•

4

3

a•

2 (1-k)a

1+2k2

=

2 2 a2

3

 • 

1-k

1+2 k2

．
设t=1-k，则t＞1，

(1-k )2

1+2k2

=

t2

2t2-4t+3

=

1

2- 4 t +  3 t2

，
当

1

t

=

2

3

，即k=-

1

2

时，

(1-k)2

1+2k2

最大，进而S有最大值．…（12分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．