Question

已知复数z=a+bi（a，b∈R），若

z

=

2+4i

k

-3aki（k∈R），求：
（1）2a+b的值；
（2）|z-i|+|z+i|的最小值．

Answer 1

考点：复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等即可得出．
（2）利用复数的几何意义、轴对称即可得出．

解答： 解：（1）∵复数z=a+bi（a，b∈R），

z

=

2+4i

k

-3aki（k∈R），
∴a-bi=

2

k

+(

4

k

-3ak)i，
∴a=

2

k

，-b=

4

k

-3ak，
解得a=

2

k

，b=6-

4

k

．
∴2a+b=

4

k

+6-

4

k

=6．
（2）∵2a+b=6，
∴b=-2a+6，
设点P（0，1）关于直线y=-2x+6的对称点为P′（x，y），
则

y-1 x ×(-2)=-1 2× x 2 + 1+y 2 -6=0

，解得

x=4 y=3

，
∴P′（4，3）．
Q（0，-1）．
|z-i|+|z+i|≥|P′Q|=

42+42

=4

2

，
其最小值为4

2

．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等、复数的几何意义、轴对称，考查了计算能力，属于中档题．