Question

（本小题满分12分）
在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

Answer 1

（1）连结BD，，  EF∥平面CB₁D（2）AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁， AA₁⊥B₁D₁，又A₁C₁⊥B₁D₁ B₁D₁⊥平面CAA₁C₁平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

试题分析：（1）证明:连结BD.
在长方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
.
.
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                  
（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
点评：线面平行的判定：需在平面内找一直线与面外直线平行，本题充分借助出现的中点可考虑中位线的平行关系；面面垂直的判定：要证两面垂直需在其中一个平面内找到另外一面的垂线，即将证明面面垂直问题转化为证明线面垂直