Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上为增函数．若af（a）＜0，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当a＜0时，由af（a）＜0可化为f（a）＞0，利用f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上为增函数，
可得-1＜a＜0．同理可得：当a＞0时，由af（a）＜0可化为f（a）＜0，由于偶函数f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上为增函数，可得f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上为减函数，即可得出．

解答： 解：①当a＜0时，由af（a）＜0可化为f（a）＞0，
∵f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上为增函数，∴-1＜a＜0．
②当a＞0时，由af（a）＜0可化为f（a）＜0，
∵偶函数f（-1）=0，并且f（x）在（-∞，0）上为增函数，
∴f（1）=0，并且f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴a＞1．
综上可得：实数a的取值范围是（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查了推理能力，属于中档题．