Question

2．北京时间3月4日，CBA半决赛第四场，辽宁男篮客场战胜广东，总比分3：1淘汰对手紧急总决赛，辽宁与四川会师决赛，总决赛3月11日开打，采用7局4胜制（若某队取胜四场，则终止比赛，并获得本赛季冠军）采用2-3-2的赛程，由于辽宁常规赛占优，决赛时拥有主场优势（辽宁先两个主场，然后三个客场，再两个主场）以下是总决赛赛程：

日期	比赛队	主场	客场	比赛时间	比赛地点
3月11日	辽宁-四川	辽宁	四川	19：35	本溪
3月13日	辽宁-四川	辽宁	四川	19：35	本溪
3月16日	四川-辽宁	四川	辽宁	19：35	成都
3月18日	四川-辽宁	四川	辽宁	19：35	成都
3月20日	四川-辽宁	四川	辽宁	19：35	成都
3月23日	辽宁-四川	辽宁	四川	19：35	本溪
3月25日	辽宁-四川	辽宁	四川	19：35	本溪

（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，客场取胜的概率均为$\frac{1}{3}$，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；
（2）若不考虑主场优势，每个队每场比赛获胜的概率均为$\frac{1}{2}$设本次决赛的比赛场数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（A₁$\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅），能求出辽宁队以比分4：1获胜的概率．
（2）X的所有可能取值为4，5，6，7，分别求机相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 （本小题满分12分）
（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，
由赛程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{2}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{1}{3}$
则P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（A₁$\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）³+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）³+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{243}$．
（或P（A）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²×${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{243}$）…（6分）
（2）X的所有可能取值为4，5，6，7
设“辽宁队以4：0取胜”为事件A₄，“四川队以4：0取胜”为事件B₄；
“辽宁队以4：1取胜”为事件A₅，“四川队以4：1取胜”为事件B₅；
“辽宁队以4：2取胜”为事件A₆，“四川队以4：2取胜”为事件B₆；
“辽宁队以4：3取胜”为事件A₇，“四川队以4：3取胜”为事件B₇；
则P（X=4）=P（A₄）+P（B₄）=2×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$
P（X=5）=P（A₅）+P（B₅）=2×${C}_{4}^{1}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{4}$
P（X=6）=P（A₆）+P（B₆）=2×${C}_{5}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）²×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{5}{16}$
P（X=7）=P（A₇）+P（B₇）=2×${C}_{6}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{5}{16}$
∴X的分布列为：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

∴EX=4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{5}{16}$+7×$\frac{5}{16}$=$\frac{93}{16}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．