Question

12．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$．a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．
（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，讨论a的范围，结合单调性，即可得到所求a的范围；
（2）设切线的切点为（m，n），求出导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，可得m（1-lnm）=$\frac{2}{a}$，m＞0，由g（m）=m（1-lnm），求出导数和单调区间，极值、最值，对a讨论，解不等式即可得到a的范围和切线的条数．

解答 解：（1）函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），
即有f（x）的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）递减，无极值；
当a＞0时，x＞$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0；当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0．
x=$\frac{1}{a}$处，f（x）取得极小值．
则a的范围是（0，+∞）；
（2）设切线的切点为（m，n），由f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
可得切线的斜率为$\frac{am-1}{{m}^{2}}$=$\frac{n}{m}$=$\frac{alnm+\frac{1}{m}}{m}$，
化为m（1-lnm）=$\frac{2}{a}$，m＞0，
由g（m）=m（1-lnm），可得g′（m）=1-lnm-1=-lnm，
当m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减；
当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增．
可得m=1处g（m）取得极大值，且为最大值1．
当$\frac{2}{a}$=1或$\frac{2}{a}$＜0，即a=2或a＜0，y=g（m）与y=$\frac{2}{a}$有一个交点，即有一条切线；
当0＜$\frac{2}{a}$＜1，即为a＞2时，y=g（m）与y=$\frac{2}{a}$有两个交点，即有两条切线；
当$\frac{2}{a}$＞1，即为a＜2时，y=g（m）与y=$\frac{2}{a}$没有交点，即不存在切线．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．