Question

1．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x-（e+$\frac{1}{e}$）]²+y²=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（　　）

• A． $\frac{e-\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}$
• B． $\frac{\sqrt{2{e}^{2}+1}-e}{e}$
• C． $\frac{\sqrt{{e}^{2}+1}-e}{e}$
• D． e+$\frac{1}{e}$-1

Answer 1

分析 由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+$\frac{1}{e}$，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得lnm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+$\frac{1}{e}$，0）
到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，lnm），
由f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
即有切线的斜率为k=$\frac{1}{m}$，
可得$\frac{lnm-0}{m-（e+\frac{1}{e}）}$=-m，
即有lnm+m²-（e+$\frac{1}{e}$）m=0，
由g（x）=lnx+x²-（e+$\frac{1}{e}$）x，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-（e+$\frac{1}{e}$），
当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
又g（e）=lne+e²-（e+$\frac{1}{e}$）•e=0，
可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$，
则线段PQ的长度的最小值为为$\sqrt{1+\frac{1}{{e}^{2}}}$-1，即$\frac{\sqrt{1+{e}^{2}}-e}{e}$．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．