Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k，|$\overrightarrow{b}$|=k（k为正常数），且（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=0，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{6}$；若t∈R，则|（1-2t）$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值为k．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得θ的值．根据题意利用求向量的模的方法，二次函数的性质，求得|（1-2t）$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|取得最小值．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角是θ，由题意可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=0=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k²•cosθ-2k²，
求得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$．
∵|（1-2t）$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{[（1-2t）\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}]}^{2}}$=$\sqrt{{（1-2t）}^{2}{•\overrightarrow{b}}^{2}{+t}^{2}{•\overrightarrow{a}}^{2}+2（1-2t）•t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{{（1-4t+{4t}^{2}）•k}^{2}+2t（1-2t）•{2k}^{2}+\frac{16}{3}{{•t}^{2}•k}^{2}}$=k•$\sqrt{\frac{4}{3}{•t}^{2}+1}$，
故当t=0时，|（1-2t）$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|取得最小值为k，
故答案为：$\frac{π}{6}$；k．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，二次函数的性质，属于中档题．