Question

14．数列{a_n}是单调递增数列，且通项公式为a_n=|3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$|，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-3，27）
• B． （-81，9）
• C． （-27，27）
• D． （-3，9）

Answer 1

分析 分类讨论，从而分别确定单调性的条件，从而解得．

解答 解：当a≥0时，3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$＞0，
故a_n=3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$，
则a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+$\frac{a}{{3}^{n+1}}$-（3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$）
=2（3ⁿ-$\frac{a}{{3}^{n+1}}$），
∵数列{a_n}是单调递增数列，
∴3ⁿ-$\frac{a}{{3}^{n+1}}$＞0在N^*上恒成立，
∴3-$\frac{a}{9}$＞0，
即a＜27；
当a＜0时，b_n=3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$在N^*上单调递增，
当a₁=3+$\frac{a}{3}$≥0，即a≥-9时，
a_n=|3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$|=b_n=3ⁿ+$\frac{a}{{3}^{n}}$，成立；
当a＜-9时，a₁=|3+$\frac{a}{3}$|=-（3+$\frac{a}{3}$），
a₂=|9+$\frac{a}{9}$|=9+$\frac{a}{9}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{9+\frac{a}{9}＞0}\\{-（3+\frac{a}{3}）＜9+\frac{a}{9}}\end{array}\right.$，
解得，a＞-27，
综上所述，实数a的取值范围是（-27，27），
故选：C．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值函数与数列的综合应用，属于中档题．