Question

18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{6}$，$\frac{bcosA-c}{a}$=$\frac{bcosC-a}{b}$．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知式子和余弦定理结合多项式的原可得b=c或b²=c²+a²，分别由等腰三角形和直角三角形可得；
（Ⅱ）结合a=2，分别由等腰三角形和直角三角形的知识和面积公式可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中，$\frac{bcosA-c}{a}$=$\frac{bcosC-a}{b}$，
∴b²cosA-bc=abcosC-a²，由余弦定理可得：
b²•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$--bc=ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-a²，
∴$\frac{b}{2c}$（b²+c²-a²）-bc=$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²）-a²，
同乘以2c可得b（b²+c²-a²）-2bc²=c（a²+b²-c²）-2ca²，
∴b（b²-c²-a²）=c（-a²+b²-c²），
∴（b²-c²-a²）（b-c）=0，
∴b=c或b²=c²+a²，
当b=c时，由等腰三角形可得角C=$\frac{5π}{12}$；
当b²=c²+a²时，由直角三角形可得角C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=2，∴当b=c时，三角形的高h=tan=$\frac{5π}{12}$
=tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$=2+$\sqrt{3}$，
此时三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×2×h=2+$\sqrt{3}$；
当b²=c²+a²时，由直角三角形可得c=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$=2$\sqrt{3}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及分类讨论和三角形的面积公式，属中档题．