Question

19．盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．
（Ⅰ）从盒子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；
（Ⅱ）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X为取出3个球所得的分数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，利用互斥事件加法公式能求出从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率．
（Ⅱ）依题意，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设A表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，
则P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{28}$，
∴从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率为$\frac{9}{28}$．
（Ⅱ）依题意，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{14}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{9}{28}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{9}{28}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{13}{56}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{56}$，
∴X的分布列为：

X	3	4	5	6	7
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{13}{56}$	$\frac{3}{56}$

EX=$3×\frac{1}{14}+4×\frac{9}{28}+5×\frac{9}{28}$+$6×\frac{13}{56}+7×\frac{3}{56}$=$\frac{39}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．