Question

9．已知函数f（x）满足f（x）=f（-x），且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0，a=2^0.1•f（2^0.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log₂$\frac{1}{8}$）f（log₂$\frac{1}{8}$），则a，b，c的大小关系是c＞a＞b．

Answer 1

分析 通过构造复合函数，求导，求符合函数单调性，通过单调性判断函数值的大小

解答 解：设函数h（x）=xf（x），有函数y=f（x）是R上的偶函数，y=x是奇函数，
得h（x）=xf（x）是函数R上的奇函数，
由x∈（-∞，0）时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0成立，
∴h（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∵3＞2^0.1＞1，0＜ln2＜1，
丨$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$丨=3＞2^0.1＞ln2
即h（3）＞h（2^0.1）＞h（ln2）．
又a=2^0.1•f（2^0.1），b=ln（2）•f（ln2），c=（$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$）•f（$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$），
∴b＜a＜c
故答案为c＞a＞b

点评 本题考查通过已知条件，构造符合函数，通过求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间比较函数值的大小，属于中档题．