Question

14．在△ABC中，A=60°，BC=$\sqrt{10}$，D是AB边上的一点，CD=$\sqrt{2}$，△BCD的面积为1，则AC的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 在△BDC中，通过三角形的面积，求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠BDC，即可求解∠DCB，然后在△ADC中，由正弦定理可求AC．

解答 解：∵BC=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{2}$，△BCD的面积为1，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}$sin∠DCB=1，
∴sin∠DCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则cos∠DCB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则BD²=CB²+CD²-2CD•CBcos∠DCB=4，得BD=2，
在△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC=$\frac{4+2-10}{2×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BDC=135°，∠ADC=45°，
在△ADC中，∠ADC=45°，A=60°，DC=$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得，$\frac{AC}{sin45°}=\frac{\sqrt{2}}{sin60°}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，是中档题．