Question

3．设函数f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若当x∈（-1，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，不等式即|x-2|≥1，可得x-2≥1，或 x-2≤-1，解得x的范围，可得不等式的解集．
（2）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（-2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（-2，+∞）上恒成立，
可得f（-2）=a-2≥0，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x-2|≥1，
∴x-2≥1，或 x-2≤-1．
解得x≤1，或 x≥3，
故不等式的解集为 {x|x≤1，或 x≥3}．
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥a}\\{x+a，x＜a}\end{array}\right.$，a＞0，
故函数f（x）在它的定义域（-1，+∞）上是增函数．
再由f（x）＞0在它的定义域（-1，+∞）上恒成立，
可得f（-1）=a-1≥0，解得 a≥1．
故a的范围是[1，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题．