Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2b-c，a）和向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosA）为共线向量．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据向量关系得出方程，利用正弦定理将边化角，使用三角函数的恒等变换化简得出cosA的值；
（II）使用余弦定理和基本不等式解出bc的范围，代入三角形的面积公式得出．

解答 解：（Ⅰ）因为向量m=（2b-c，a）和向量n=（cosC，cosA）为共线向量，
所以（2b-c）cosA=acosC，
由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．
由于B是三角形的内角，sinB≠0，
则$cosA=\frac{1}{2}$，所以$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）因为a²=b²+c²-2bccosA，
所以$36={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={b^2}+{c^2}-bc≥2bc-bc=bc$，
且仅当b=c时取得等号，所以bc≤36，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×36×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=9\sqrt{3}$，
所以当b=c时，△ABC面积的最大值为$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的恒等变换，属于中档题．