Question

设数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，且a_n+1=

1 2 an(n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，记b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）证明：{b_n}是等比数列；
（3）求数列{

3n+1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）分别将n=2，3代入到a_n+1=

1 2 an(n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，即可得到a₂，a₃的值
（2）因为bn=a2n-1-

1

4

，所以bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)，易证{b_n}是等比数列；
（3）bn=b1(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1，所以

3n+1

bn

=（3n+1）2n+1，应用错位相消法求和．

解答： 解：
（1）a2=a1+

1

4

=

3

4

，a3=

1

2

a2=

3

8

（2）证明：
因为bn=a2n-1-

1

4

，所以bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)
即bn+1=

1

2

bn
而b1=a1-

1

4

=

1

4

≠0，所以{b_n}是以

1

4

为首项，公比为

1

2

的等比数列
（3）bn=b1(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1，所以

3n+1

bn

=（3n+1）2ⁿ⁺¹
所以Tn=(3×1+1)22+(3×2+1)23+…+(3n+1)2n+1
2Tn=(3×1+1)23+(3×2+1)24+…+(3n-2)2n+1+(3n+1)2n+2
两式相减得：Tn=(3n+1)2n+2-3(23+24+…+2n+1)-16
即Tn=(3n-2)2n+2+8

点评：本题考查数列的判定，通项公式，和的计算，考查转化构造，计算能力．本题中的数列求和法为错位相消法．