Question

定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x），若对?x∈D，均有f（x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．
（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（2）若函数g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）按照梦想函数的定义举反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）为（0，π）上为梦想函数，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分离出参数a后转化为函数最值解决；

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+cosx不是其定义域上的梦想函数．
理由如下：f（x）=sinx+cosx定义域D=R，f'（x）=cosx-sinx，
存在x=

π

4

，使，f（

π

4

）＞
故函数h（x）=sinx+cosx不是其定义域D=R上的梦想函数．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函数g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上为梦想函数，
则ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜

1

x

在x∈（0，π）上恒成立，
因为在y=

1

x

在x∈（0，π）内的值域为（

1

π

，+∞）
所以a≤

1

π

．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．