Question

函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B．C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀）+1的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由已知可得周期，进而可得ω，可得函数的解析式，由x的范围可得；
（2）由题意直接可求f（x₀）+1的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）
又△ABC为正三角形，且高为2

3

，可得BC=4．
∴函数f（x）的最小正周期为8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
∵x∈[0，1]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，
∴sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）∈[3，2

3

]，
∴函数f（x）的值域为：[3，2

3

]；
（2）∵f（x₀）=

8 3

5

，
∴f（x₀）+1=

8 3

5

+1．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和三角函数的值域，属于基本知识的考查．