Question

若实数a，b，c满足lg（10^a+10^b）=a+b，lg（10^a+10^b+10^c）=a+b+c，则c的最大值是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用对数和指数的关系，及基本不等式，可得10^a+b≥2

10a+b

，即10^a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．对第二个等式，求出10^c，再化简代入，分子常数化，即可得到c的最大值．

解答： 解：lg（10^a+10^b）=a+b，
即为10^a+b=10^a+10^b，
而10^a+10^b≥2

10a•10b

=2

10a+b

，
即有10^a+b≥2

10a+b

，
即10^a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．
lg（10^a+10^b+10^c）=a+b+c，
即为10^a+b+c=10^a+10^b+10^c，
即10^c=

10a+10b

10a+b-1

=

10a+b

10a+b-1

=1+

1

10a+b-1

≤1+

1

4-1

=

4

3

．
则c≤lg

4

3

．当且仅当a=b，c取得最大值lg

4

3

．
故答案为：lg

4

3

．

点评：本题考查对数与指数的互化，考查指数的运算性质，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．