Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，SA=1，AB=2，SB=$\sqrt{5}$，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°
（1）证明：平面SAD⊥平面SAC；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出SA⊥AB，SA⊥AC，∠SAC=30°，从而AD⊥AC，进而AC⊥平面SAD，由此能证明平面SAD⊥平面SAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-SC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵SA=1，AB=2，SB=$\sqrt{5}$，平面SAB⊥底面ABCD
∴SA²+AB²=SB²，∴SA⊥AB，
∵平面SAB∩平面ABCD=AB，∴SA⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴SA⊥AC，
∵直线SC与底面ABCD所成的角为30°，
∴∠SAC=30°，∴SC=2，AC=$\sqrt{3}$，
∵底面ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AC²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos60°，
即3=4+AD²-2AD，解AD=1，
∴AD²+AC²=CD²，∴AD⊥AC，
∵SA∩AD=A，∴AC⊥平面SAD，
∴AC?平面SAC，∴平面SAD⊥平面SAC．
解：（2）以A为原点，AC为x轴，AE为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），$\overrightarrow{SC}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0，1，-1），
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}x-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
设平面SDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SD}=b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=\sqrt{3}a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设二面角B-SC-D的平面角为θ，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角B-SC-D的余弦值为-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．