Question

10．已知$\overline{a}$=（1-cosx，2sin$\frac{x}{2}$），$\overline{b}$=（1+cosx，-2cos$\frac{x}{2}$），设f（x）=2-sinx-$\frac{1}{4}$|$\overline{a}$-$\overline{b}$|²．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若λ≤0，求函数h（x）=-sin²x-2sinx-λf（x）+1在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐标运算求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$，即可求出f（x）的解析式；
（2）化简函数h（x），利用换元法与分类讨论法求出函数h（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的最值即可．

解答 解：（1）∵$\overline{a}$=（1-cosx，2sin$\frac{x}{2}$），$\overline{b}$=（1+cosx，-2cos$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-2cosx2sin$\frac{x}{2}$+2cos$\frac{x}{2}$），
${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$=4cos²x+4${（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^{2}$=4cos²x+4（1+sinx），
∴f（x）=2-sinx-$\frac{1}{4}$|$\overline{a}$-$\overline{b}$|²=2-sinx-$\frac{1}{4}$（4cos²x+4+4sinx）=sin²x-2sinx；
（2）函数h（x）=-sin²x-2sinx-λf（x）+1
=-sin²x-2sinx-λ（sin²x-2sinx）+1
=-（1+λ）sin²x-2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，则g（t）=-（1+λ）t²-2（1-λ）t+1，（-1≤t≤1）；
当λ=-1时，g（t）=-4t+1在[-1，1]上是减函数；
当λ＜-1时，-（1+λ）＞0，g（t）为开口向上的抛物线，
其对称轴方程为直线t=$\frac{λ-1}{λ+1}$=1-$\frac{2}{λ+1}$＞1，g（t）在[-1，1]上是减函数；
当-1＜λ≤0时，-1＜-（1+λ）＜0，g（t）为开口向下的抛物线，
其对称轴方程为t=$\frac{λ-1}{λ+1}$=1-$\frac{2}{λ+1}$＜-1，g（t）在[-1，1]上是减函数；
综上所述，当λ≤0时g（t）在[-1，1]上是减函数，
所以y_max=g（-1）=2-3λ，y_min=g（1）=λ-2．

点评 本题考查了三角函数的化简与求解析式的应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是综合性题目．