Question

20．设 A为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点 M，点 M关于原点的对称点为 N，若双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，则∠M A N=120°．

Answer 1

分析 联立方程求出交点M的坐标，结合双曲线的离心率建立方程进行求解即可．

解答 解：不妨设直线x=a与渐近线$y=\frac{b}{a}x$交于点 M，
将x=a代入渐近线$y=\frac{b}{a}x$得 M（a，b），则 N（-a，-b）．
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{3}$得3c²=7a²，
由c²=a²+b²得3b²=4a²，
又∵A（-a，0），
∴$tan∠{M}{A}x=\frac{b}{2a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠M A N=120°．
故答案为：120°．

点评 本题主要考查双曲线离心率的应用，根据条件求出M，N的坐标，是解决本题的关键．