Question

10．已知函数f（x）=x³-3ax+b（a，b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-e^x+k²+4k，若对任意的x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=9x-14，建立方程，求a，b的值；
（Ⅱ）求出函数的解析式，利用导数的正负可得函数的单调区间；对任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，有f（x）_max＜g（x）_max，求出相应函数的最值，即可求得实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=2处的切线方程为y=9x-14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8-6a+b=4}\\{f′（2）=12-3a=9}\end{array}\right.$，∴a=1，b=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-3x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1．
故函数f（x）单调递减区间是（-1，1）；单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）．
∴函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）上单调递增，
又f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2），
∴函数f（x）在区间[0，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=4．
又g（x）=-e^x+k²+4k
∴g′（x）=-e^x，
∴函数g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（x）_max=g（0）=k²+4k-1
因为对任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
所以有f（x）_max＜g（x）_max，则4＜k²+4k-1，
∴k＞1或k＜-5．
故实数k的取值范围是（-∞，-5）∪（1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是将问题转化为f（x）_max＜g（x）_max，属于中档题．