Question

19．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$+$\sqrt{3}$（tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}}$）=1．
（I） 求△ABC的内角C的值；
（II）求证：c²≥4$\sqrt{3}$S．

Answer 1

分析 （I）利用正切的和差公式即可得出．
（II）利用余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+\sqrt{3}（{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}）=1$，
∴$\sqrt{3}（{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}）=1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}$，$\frac{{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}}{{1--tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即     $tan（{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵A、B为△ABC内角，
∴$\frac{A+B}{2}=\frac{π}{6}$，即  $A+B=\frac{π}{3}$．
于是 $C=π-（A+B）=\frac{2π}{3}$．
（II）证明：由用余弦定理，有${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{2π}{3}={a^2}+{b^2}+ab≥3ab$，
∵△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}absin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，
∴$4\sqrt{3}S=3ab$，于是  ${c^2}≥4\sqrt{3}S$．

点评 本题考查了正切的和差公式、余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．