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    在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在A1B、A1D上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.

    （1）求证：A1C⊥平面AEF；

    （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等.

    试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小.

    解析：建立如图所示直角坐标系.?

    ?

    （1）证明：∵CB⊥面ABB1A1，A1B⊥AE，∴A1C⊥AE.?

    同理，A1C⊥AF，AF∩AE=A.?

    ∴A1C⊥面AEF.?

    （2）由题意得A1C⊥面AEF.?

    设xAy平面内的单位向量为e,?

    e=(x,y,0),e⊥BB1,只需e⊥BD即可.?

    B（4，0，0），D（0，3，0），=（-4，3，0），?

    ∴e=(,,0).?

    ∴两面夹角即为e与向量的夹角.?

    A1（0，0，5），C（4，3，0），?

    ∴=（4,3,-5）.?

    ∴cosθ=.?

    ∴θ＝arccos.

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    		3
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    （2）二面角B-AC-B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

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    精英家教网已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
    （Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
    （Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

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