Question

已知f（x）是定义域在实数集R上的偶函数，?x₁≥0，x₂≥0，若x₁≠x₂，则

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，如果f（

1

3

）=

3

4

，若f（log 

1

8

x）＞3，那么x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数f（x）在[0，+∞）为减函数，在（-∞，0]为增函数，结合f(

1

3

)=

3

4

，则f(-

1

3

)=

3

4

，进而可将原不等式转化为-

1

3

＜log 

1

8

x＜

1

3

，解对数不等式可得答案．

解答： 解：由x₁≥0，x₂≥0，若x₁≠x₂，则

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
可得函数f（x）在[0，+∞）为减函数，
由偶函数在对称区间上单调性相反，
可得函数f（x）在（-∞，0]为增函数，
由f(

1

3

)=

3

4

，则f(-

1

3

)=

3

4

故不等式4f（log 

1

8

x）＞3，可化为：
f（log 

1

8

x）＞

3

4

，即-

1

3

＜log 

1

8

x＜

1

3

，
即log 

1

8

2＜log 

1

8

x＜log 

1

8

1

2

，
即x∈（

1

2

，2），
故答案为：（

1

2

，2）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，对数函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．