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    设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤2，则关于函数f（x）有：
    （1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
    （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
    （3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
    （4）当x∈（0，1），函数y=
    f(x)
    x
    +x为减函数．
    上述四个命题中正确的有______．
    因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
    所以令x1=x，x2=1-x，则
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    ≥2
    f(x)
    f(1-x)
    ?
    f(1-x)
    f(x)
    =2    ，
    由②知
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    ≤2    ，所以必有
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    =2    ，当且仅当
    f(x)
    f(1-x)
    =
    f(1-x)
    f(x)
    =1    ，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
    （3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ≤2    ，③，将②③相加得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤4    ，
    因为
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    ≥2
    f(x2)
    f(x1)
    ?
    f(x1)
    f(x2)
    =2    ，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≥2
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ?
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =2    ，
    所以
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≥4    ，所以
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =4    ，
    当且仅当，
    f(x2)
    f(x1)
    =
    f(x1)
    f(x2)
    =1，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    =
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =1    ，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
    所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
    （4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
    所以y=
    f(x)
    x
    +x=
    c
    x
    +x    ，函数的导数为y'=1-
    c
    x2
    ，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜
    		c
    ，所以函数在（0，
    		c
    ）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=
    f(x)
    x
    +x为减函数不一定正确．
    故正确的是（2）（3）．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给定下列四个命题：
    ①“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题为真命题；
    ②命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件；
    ③若loga
    2
    3
    ＜1，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜
    2
    3
    ；
    ④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为
    π
    4

    其中为假命题的是______（填上所有正确命题的序号）．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给出下列结论：
    ①与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在一个椭圆上．
    ②若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，则k∈(1，
    		5
    2
    )    ．
    ③经过椭圆
    x2
    2
    +y2=1    的右焦点F作倾斜角为600的直线l交椭圆于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则
    AF
    =
    9+3
    		2
    7
    FB
    ．
    ④抛物线y2=2x上的点P到直线y=x+4的距离的最小值为
    7
    		2
    4
    ．
    其中正确结论的序号是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    关于函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列四个命题：其中正确的命题序号为______．
    ①b=0，c＞0时，f（x）=0只有一个实数根；
    ②c=0时，f（x）是奇函数；
    ③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
    ④函数f（x）至多有两个零点．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    （1）16的四次方根是±2；
    （2）集合A={x|y=
    		x
    }，B={y|y=2x2-1，x∈R}则A∩B=B；
    （3）若|log3a|=|log3b|，且a≠b，a＞0，b＞0则ab=1；
    （4）若函数f（x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
    其中正确的序号是______$\end{array}$．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    原命题为：“若m，n都是奇数，则m+n是偶数”，其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，其中真命题的个数是（　　）
    A．0B．1C．2D．4

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线m、n和平面a、β．下列四个命题中，
    ①若m∥a，n∥a，则m∥n；
    ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
    ③若α⊥β，m?α，则m⊥β；
    ④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α，
    其中正确命题的个数是（　　）
    A．0B．1C．2D．3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    下列判断错误的是（　　）
    A．a，b，m为实数，则“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件
    B．命题“对任意x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2-1＞0”
    C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
    D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
    ①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有f(
    x1+x2
    2
    )≤
    f(x1)+f(x2)
    2
    ；
    ②对任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）-f（x2）＜x2-x1；
    ③对任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
    ④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得f(x0)≤
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ．其中正确的是______（填写序号）．

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