Question

函数y=3sinx+4cosx在x∈（0，

π

2

）的值域为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角差的正弦公式，把函数化为一个角的一个三角函数的形式，由正弦函数的性质可得结论．

解答： 解：函数y=3sinx+4cosx=5（

3

5

sinx+

4

5

cosx）=5sin（x+θ），其中tanθ=

4

3

．

π

4

＜θ＜

π

3

，
则∵x∈（0，

π

2

），∴x+θ∈（

π

4

，

5π

6

），
则当x+θ=

π

2

时，函数取得最大值为5，
当x→0时，y→4，
当x→

π

2

时，y→3，
则3＜y≤5，
故函数的值域为（3，5]，
故答案为：（3，5]

点评：本题考查两角差的正弦公式的应用，以及正弦函数的最值，利用辅助角公式化简函数的解析式，是解题的关键．