【题目】已知a<0,函数f(x)=acosx+ +
,其中x∈[﹣
,
].
(1)设t= +
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数g(t);
(2)求函数f(x)的最大值(可以用a表示);
(3)若对区间[﹣ ,
]内的任意x1 , x2 , 总有|f(x1)﹣f(x2)|≤1,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵ ,
又∵ ,∴cosx≥0,从而t2=2+2cosx,∴t2∈[2,4].
又∵t>0,∴ ,∵
,∴
,
(2)解:求函数f(x)的最大值即求 ,
的最大值.
,对称轴为
.
当 ,即
时,
;
当 ,即
时,
;
当 ,即
时,gmax(t)=g(2)=a+2;
综上可得,当 时,f(x)的最大值是
;当
时,f(x)的最大值是
;
当 时,f(x)的最大值是a+2
(3)解:要使得|f(x1)﹣f(x2)|≤1对区间 内的任意x1,x2恒成立,
只需fmax(x)﹣fmin(x)≤1.也就是要求gmax(t)﹣gmin(t)≤1对 成立
∵当 ,即
时,gmin(t)=g(2)=a+2;
且当 时,
结合问题(2)需分四种情况讨论:
① 时,
成立,∴
;
② 时,
,即
,
注意到函数 在
上单调递减,故p(a)>p(
)=﹣
,
于是 成立,∴
;
③ 时
,即
,
注意到函数 在
上单调递增,
故 ,于是
成立,∴
;
④ 时,
,即
,∴
;
综上,实数a的取值范围是
【解析】(1)令 +
=t,换元可得;(2)问题转化为
,
的最大值,由二次函数分类讨论可得;(3)问题转化为gmax(t)﹣gmin(t)≤1对
成立,分类讨论可得.
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点,需要掌握函数,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
,
才能正确解答此题.
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【题目】给出下列几个命题:
① 命题任意
,都有
,则
存在
,使得
.
② 命题“若且
,则
且
”的逆命题为假命题.
③ 空间任意一点和三点
,则
是
三点共线的充分不必要条件.
④ 线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点
中的一个.
其中不正确的个数为
A. B.
C.
D.
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【题目】已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为,D是AB的中点.
(1)求动点D的轨迹C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,当|PQ|=3时,求直线l的方程。
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【题目】如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高为10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为x轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为 ,求该圆形标志物的半径.
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【题目】近几年电子商务蓬勃发展,在2017年的“年货节”期间,一网络购物平台推销了三种商品,某网购者决定抢购这三种商品,假设该名网购者都参与了
三种商品的抢购,抢购成功与否相互独立,且不重复抢购同一种商品,对
三种商品的抢购成功的概率分别为
,已知三件商品都被抢购成功的概率为
,至少有一件商品被抢购成功的概率为
.
(1)求的值;
(2)若购物平台准备对抢购成功的三件商品进行优惠减免活动,
商品抢购成功减免
百元,
商品抢购成功减免
百元,
商品抢购成功减免
百元,求该名网购者获得减免的总金额(单位:百元)的分布列和数学期望.
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【题目】已知数列的前n项的和Sn,点(n,Sn)在函数
=2x2+4x图象上:
(1)证明是等差数列;
(2)若函数,数列{bn}满足bn=
,记cn=anbn,求数列
前n项和Tn;
(3)是否存在实数λ,使得当x≤λ时,f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*恒成立?若存在,求出最大的实数λ,若不存在,说明理由.
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【题目】已知f(x)= sin2x+2+2cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积为 ,求a的值.
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【题目】在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,则sin2θ﹣cos2θ的值等于( )
A.1
B.﹣
C.
D.﹣
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